\documentclass[fleqn,twoside]{book}% options : fleqn, twoside, openright, etc. [voir aide-mémoire]

\usepackage[utf8]{inputenc}%         encodage du fichier source
\usepackage[T1]{fontenc}%            gestion des accents (pour les pdf)
\usepackage[francais]{babel}%        rajouter éventuellement english, greek, etc.
\usepackage{textcomp}%               caractères additionnels
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}% packages ams
\usepackage{fourier}%                remplacer éventuellement par txfonts, fourier, etc.
\usepackage[a4paper]{geometry}%      taille correcte du papier
\usepackage{graphicx}%               pour inclure des images
\usepackage{xcolor}%                 pour gérer les couleurs
\usepackage{microtype}%              améliorations typographiques

\usepackage{lipsum}
\usepackage{titling}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{titletoc}

\usepackage{hyperref}%               gestion des hyperliens
\hypersetup{pdfstartview=XYZ}%       zoom par défaut

% taille du papier et marges
\geometry{papersize={15cm,22.6cm}}
\geometry{hmargin=2.5cm,bottom=3.5cm,top=2cm}

% titling
\pretitle{\begin{center}\fontfamily{ugq}\fontsize{24pt}{29pt}\selectfont}
\posttitle{\par\end{center}\vspace{0.5em}}
\preauthor{\begin{center}
           \large\bfseries\color{darkred}%
           \begin{tabular}[t]{c}}
\postauthor{\end{tabular}\par\end{center}}
\predate{\vfill\begin{center}\large\bfseries Version du }
\postdate{\par\end{center}}

% théorèmes
\newtheoremstyle{plain}
  {\topsep}%   espace avant
  {\topsep}%   espace après
  {\itshape}%  police du corps du théorème
  {}%          indentation (vide pour rien, \parindent)
  {\scshape}% police du titre du théorème
  {.}%         ponctuation après le théorème
  { }%         espace après le théorème (\newline = saut de ligne)
  {\thmname{#1}\thmnumber{ \textup{#2}}\thmnote{~: \textit{#3}}}% spécification du titre du théorème
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theoreme}{Théorème}[section]
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theoreme]{Définition}
\newtheoremstyle{remark}
  {\topsep}%   espace avant
  {\topsep}%   espace après
  {\footnotesize\upshape}%  police du corps du théorème
  {}%          indentation (vide pour rien, \parindent)
  {\itshape}% police du titre du théorème
  {.}%         ponctuation après le théorème
  { }%         espace après le théorème (\newline = saut de ligne)
  {\thmname{#1}\thmnumber{ \textup{#2}}\thmnote{ \textnormal{(#3)}}}% spécification du titre du théorème
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque}

% table des matières
\addto\captionsfrench{
  \renewcommand{\contentsname}{Sommaire}
}
\titlecontents{chapter}
  [0pt]% espace à gauche
  {\color{darkred}\addvspace{0pt}}% matériel avant
  {{\normalcolor\textsc{\chaptername~}\thecontentslabel~}}% avant lorsqu'il y a un numéro
  {}% avant lorsqu'il y a un numéro
  {\titlerule*[0.66em]{.}\contentspage}% points de suspension et numéro de page
  [\addvspace{0pt}]% matériel après

\titlecontents{section}
  [3em]
  {}
  {\contentslabel{1.5em}}
  {\hspace*{-1.5em}}
  {, \thecontentspage}
  
\titlecontents*{subsection}
  [4.5em]
  {\itshape\small}
  {\thecontentslabel. }
  {}
  {, \thecontentspage}
  [~; ][.]

% numérotation des sections
\renewcommand{\thechapter}{\Roman{chapter}}
\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
\setcounter{secnumdepth}{1}

% sections
\titlelabel{\thetitle.~}
\titleformat*{\section}{\fontfamily{ugq}\selectfont}
\titlespacing*{\section}
  {0pt}% retrait à gauche
  {1em}% espace avant
  {1em}% espace après
  
\titleformat{\subsection}
  [runin]% style du titre (hang, display, runin, leftmargin, drop, wrap)
  {\bfseries\color{darkred}\itshape}% changement de fonte commun au numéro et au titre
  {\thesubsection}% spécification du numéro
  {1em}% espace entre le numéro et le titre
  {}% changement de fonte du titre
  
\titlespacing*{\subsection}
  {0pt}% retrait à gauche
  {1em}% espace avant
  {1em}% espace après

\titleformat{\chapter}
  [display]% style du titre (hang, display, runin, leftmargin, drop, wrap)
  {\centering\bfseries\Large}% changement de fonte commun au numéro et au titre
  {\fontfamily{ugq}\selectfont\chaptertitlename~\thechapter}% spécification du numéro
  {0.5em}% espace entre le numéro et le titre
  {\normalfont\itshape\bfseries\color{darkred}}% changement de fonte du titre

% en-têtes et pieds de pages
\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\fancyfoot{}
\makeatletter
\fancyhead[C]{\itshape\@title}
\makeatother
\fancyhead[RO,LE]{\thepage}

% bibliographie
\addto\captionsfrench{
  \renewcommand{\bibname}{Références bibliographiques}
}

% raccourcis personnels
\newcommand{\intervalle}[2]{[#1\,;#2]}
\newcommand{\intervalleoo}[2]{\mathopen{]}#1\,;#2\mathclose{[}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}

% couleurs personnelles
\colorlet{darkred}{red!60!black}

% titre
\title{Quelques théorèmes d'analyse}
\author{Hubert Durand}

\begin{document}
\maketitle

\cleardoublepage\pdfbookmark[0]{\contentsname}{tableofcontents}% met le sommaire dans les signets du PDF
\tableofcontents

\cleardoublepage\phantomsection\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduction}
\chapter*{Introduction}

\lipsum

\chapter{Théorèmes principaux}\label{chapitre.theoremes}

\section{Théorèmes sur les fonctions continues}

\begin{theoreme}[Théorème des valeurs intermédiaires]
Si $f$ est continue sur $\intervalle{a}{b}$ avec $f(a)f(b)<0$, alors il existe $c \in \intervalleoo{a}{b}$ tel que $f(c) = 0$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Voir \cite[§~I.4, p.~41]{Gourdon.analyse}. Noter que la condition $f(a)f(b)<0$ est équivalente à
\[f(a) < 0 \text{ et } f(b) >0 \quad \text{ou} \quad f(a) > 0 \text{ et } f(b) < 0.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{corollaire}
Si $f$ est continue sur $\intervalle{a}{b}$ avec $f(a) < d < f(b)$, alors il existe $c \in \intervalleoo{a}{b}$ tel que $f(c) = d$.
\end{corollaire}

\begin{remarque}
Ce théorème peut par exemple servir à trouver une valeur approximative de $\sqrt{2}$. Notons aussi que les fonctions continues ne sont pas les seules à posséder la propriété des valeurs intermédiaires : toutes les fonctions dérivées possèdent également cette propriété (théorème de Darboux).
\end{remarque}

\section{Théorème de Taylor}

\begin{theoreme}[Formule de Taylor-Young]
Soit $f$ une fonction $n$ fois dérivable au voisinage d'un point $a$. On peut écrire, sur ce voisinage,
\[f(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \dots + f^{(n)}(a) \frac{(x-a)^n}{n!} + R_n(x-a),\]
avec $\frac{R_n(x-a)}{(x-a)^n} \underset{x \to a}{\to} 0$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Voir \cite[§~VI.3, p.~262]{Arnaudies.Fraysse.analyse}.
\end{proof}

\begin{remarque}
On peut se servir de cette formule (ou de la formule de Taylor avec reste intégral ou celle de Taylor-Lagrange) pour donner des valeurs approchéees.
\end{remarque}

\chapter{Éléments biographiques}

Dans ce chapitre, on donne quelques éléments biographiques sur les mathématiciens ayant contribués aux théorèmes énoncés dans le chapitre~\ref{chapitre.theoremes}. Ces éléments biographiques sont tirés de Wikipédia (voir bibliographie\nocite{wikipedia.cauchy,wikipedia.darboux}).

\section{Gaston Darboux}

Jean Gaston Darboux, né à Nîmes le 14 août 1842 et mort à Paris le 23 février 1917, est un mathématicien français.

Reçu docteur ès sciences mathématiques en 1866, il devient maître de conférences à l'École normale supérieure. Il est suppléant de la chaire de mécanique rationnelle de la Faculté des sciences de Paris de 1873 à 1878, puis suppléant de la chaire de géométrie supérieure de 1878 à 1880. Il succède en 1881 à Michel Chasles à la chaire de géométrie supérieure.

Ses travaux concernent l'analyse (intégration, équations aux dérivées partielles) et la géométrie différentielle (étude des courbes et des surfaces).

Il reçoit en 1876 le grand prix de l'Académie des sciences, dont il est élu membre en 1884, remplaçant Victor Puiseux. Il est doyen de la faculté des sciences de Paris de 1889 à 1903, année de son élection au Bureau des longitudes, où lui succèdera Paul Appell. Il est lauréat de la médaille Sylvester de la Royal Society en 1916. Il est fait membre étranger de la Royal Society en 1902.

Gaston Darboux est également l'auteur d'une biographie d'Henri Poincaré.

\section{Augustin Cauchy}

\subsection{Biographie}

Né le 21 août 1789 à Paris, Augustin Louis Cauchy est le fils aîné de Louis François Cauchy (1760-1848) et de Marie-Madeleine Desestre (1767- 1839). Son père fut premier commis du Lieutenant général de police de Paris Louis Thiroux de Crosne en 1789; suite à l’excécution de ce dernier en avril 1794, Louis François se retira à Arcueil pour fuir la dénonciation et la Terreur. Sa famille subit néanmoins la loi du maximum et connut la famine. Il retourna occuper des postes administratifs divers en juillet et fut nommé secrétaire général du Sénat conservateur le 1er janvier 1800. Il obtint un appartement de fonction au palais du Luxembourg sous l'Empire. Il fut proche du ministre de l’Intérieur et mathématicien Pierre-Simon Laplace (1749-1827) et du sénateur et mathématicien Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

Augustin Louis reçoit une première éducation chrétienne de son père ; il apprend le latin, la littérature et la science. Il fréquente ensuite l’École centrale du Panthéon et se voit décerner en 1803 et en 1804 divers prix dans les épreuves littéraires du Concours général. Il fréquente le lycée Napoléon et a notamment pour professeur Jacques Binet. À 16 ans, en 1805, il est reçu deuxième à l'École polytechnique ; il est interrogé par Jean-Baptiste Biot. Des amis de la famille, Berthollet, Lagrange, et Laplace, l'ont soutenu durant ses études secondaires.

\subsection{Travaux en analyse}

Avant les travaux de Cauchy en analyse, les séries et séries de fonctions étaient couramment utilisées dans les calculs, sans qu’un formalisme précis ne soit développé. Des erreurs courantes étaient commises : les mathématiciens ne se posaient pas de question sur l'éventuelle divergence des séries utilisées, ce qui fut mentionné par Cauchy. Dans son Cours d’Analyse, il définit rigoureusement la convergence des séries, et étudie en particulier les séries à termes positifs : les sommes partielles convergent si et seulement si elles sont bornées. Il donne des résultats de comparaison de séries. Il déduit de la convergence des séries trigonométriques un critère de convergence qui porte aujourd’hui son nom, le critère de Cauchy : si la limite supérieure de la suite $\abs{a_n}^{1/n}$ est inférieure à 1, la série de terme général an converge. Intéressé par les séries entières (appelées alors séries de puissances), il met en évidence l'existence d'un rayon de convergence (qu’il appelle cercle de convergence), et en donne une méthode de calcul, conséquence de son critère de convergence. Il démontre que sous certaines hypothèses, le produit des sommes de deux séries convergentes peut s’obtenir comme la somme d’une série, appelée par la suite produit de Cauchy. Il en donne une version pour les séries entières.

Une fonction régulière était à tort considérée comme la somme de sa série de MacLaurin : autrement dit, on pensait à tort qu'une fonction indéfiniment dérivable était déterminée par la suite de ses dérivées successives en un point. En 1822, Cauchy relève deux problèmes : d’une part, le rayon de convergence de cette série entière peut être nul, et d’autre part, sur l’intersection des domaines de définition, la fonction et la somme de sa série de MacLaurin ne sont pas nécessairement égales. Cependant des solutions d’équations différentielles linéaires avaient été exprimées sous forme de séries entières sans aucune justification. Après avoir exhibé des exemples de fonctions plates, Cauchy s’intéresse de près au développement de Taylor, et évalue le reste sous forme de la détermination principale. Il donne ainsi des conditions suffisantes pour obtenir des réponses positives aux questions soulevées.

Toujours dans son Cours d’Analyse, il énonce et démontre le théorème des valeurs intermédiaires, démonstration finalisée par Bolzano. Il précise les notions de limite ; et formalise en termes de limites la continuité et la dérivabilité. Il est arrêté dans ses travaux par une nuance qu'il ne perçoit pas : la différence entre convergence simple et convergence uniforme. Pourtant, la convergence simple (convergence d'une suite de fonctions en chaque point d'évaluation) n'est pas une condition suffisante pour préserver la continuité par passage à la limite. Il est le premier à donner une définition sérieuse de l’intégration. Il définit l’intégrale d’une fonction d’une variable réelle sur un intervalle comme une limite d’une suite de sommes de Riemann prises sur une suite croissante de subdivisions de l’intervalle considéré. Sa définition permet d'obtenir une théorie de l’intégration pour les fonctions continues. Dans son Analyse algébrique, il définit les logarithmes et les exponentielles comme uniques fonctions continues vérifiant respectivement les équations fonctionnelles $f(x + y) = f(x)f(y)$ et $f(xy) = f(x) + f(y)$. Bien qu'il se soit efforcé de donner des bases rigoureuses à l'analyse, il ne s'est pas interrogé sur l’existence du corps des nombres réels, établie plus tard par Georg Cantor.

Dans son cours de Polytechnique, Leçon de calcul différentiel et intégral, il apporte clarté et rigueur aux résolutions des équations différentielles linéaire d'ordre un et s'intéressa aux équations au dérivées partielles (théorème de Cauchy-Lipschitz).

\cleardoublepage\phantomsection\addcontentsline{toc}{chapter}{Conclusion}
\chapter*{Conclusion}

\lipsum

\cleardoublepage\phantomsection\addcontentsline{toc}{chapter}{\bibname}
\bibliographystyle{smfalpha}
\bibliography{tp8}

\end{document}