Thèse

Thèse intitulée Sur la factorisation des fonctions zêta des hypersurfaces de Dwork effectuée sous la direction de Joseph Oesterlé durant les années 2006-2009. Soutenue le 3 décembre 2009 à Chevaleret devant un jury composé de Jean-Yves Etesse, Michael Harris, Jan Nekovar, Joseph Oesterlé, Bernadette Perrin-Riou et Jean-Pierre Wintenberger. Résumé :

Cette thèse s’intéresse à la factorisation des fonctions zêta des hypersurfaces de Dwork. Candelas, de la Ossa et Rodriguez-Villegas ont mis en évidence, dans le cas de la quintique, un facteur provenant de la symétrie miroir et deux facteurs provenant de courbes de type hypergéométrique. Wan a établit le lien avec la symétrie miroir dans le cas général, mais les facteurs complémentaires n’ont pas été étudiés avec le même niveau de détail que dans le cas de la quintique, et c’est sur eux que se concentre cette thèse. Après un premier chapitre de rappels sur les hypersurfaces de Dwork, on détermine, dans le chapitre 2, une factorisation explicite des fonctions zêta en terme de facteurs provenant d’hypersurfaces de type hypergéométrique. Dans le chapitre 3, on déduit une factorisation à partir d’une décomposition isotypique de la cohomologie des hypersurfaces de Dwork. Finalement, dans le chapitre 4, on relie les deux factorisations précédentes. — This thesis deals with the factorization of the zeta functions of the Dwork hypersurfaces. Candelas, de la Ossa and Rodriguez-Villegas found, in the case of the quintic, a factor coming from mirror symmetry and two factors coming from hypergeometric curves. Wan established the link with mirror symmetry in the general case, but the remaining factors have not been studied with the same level of detail as for the quintic, and it is on them that this thesis focuses. In a first part, we establish an explicit factorisation of the zeta functions in terms of factors coming from hypersurfaces of hypergeometric type. In a second part, we deduce a factorisation of the zeta function from the isotypic decomposition of the cohomology of the Dwork hypersurfaces. Finally, in a third part we link the two preceding factorisations.

Version PDF : oai:tel.archives-ouvertes.fr:tel-00440384 (en français)

An english version of my thesis is available through the articles #2–4 below.

Publications

1. « On the zeta function of a family of quintics », Journal of Number Theory 130 (2010), p. 478-492, doi:10.1016/j.jnt.2009.11.001 (version de prépublication : arXiv:0907.3723 ; disponible aussi en version française) ; MR2584833. Résumé :

   In this article, we give a proof of the link between the zeta function of two families of hypergeometric curves and the zeta function of a family of quintics that was observed numerically by Candelas, de la Ossa, and Rodriguez Villegas. The method we use is based on formulas of Koblitz and various Gauss sums identities; it does not give any geometric information on the link. — Sur la base d’évidence numérique, Candelas, de la Ossa et Rodriguez Villegas ont décrit un lien entre la fonction zêta de deux familles de courbes hypergéométriques et la fonction zêta d’une famille de quintiques. En utilisant des formules de Koblitz exprimant le nombre de points d’hypersurfaces hypergéométriques, on donne une démonstration de ce lien arithmétique. La méthode utilisée ne donne aucune information géométrique sur ce lien.

2. « An Explicit Factorisation of the Zeta Functions of Dwork Hypersurfaces », Acta Arithmetica 144 3 (2010), p. 241-261, doi:10.4064/aa144-3-3 (version de prépublication : arXiv:0912.1685) . Cet article reprend le chapitre 2 de ma thèse. Résumé :

   The aim of this article is to show that the zeta function of the Dwork hypersurface has, when the number of variable n is an odd prime and when the hypersurface is non singular, an explicit decomposition in factors coming from affine varieties of odd dimension less than n − 4 which are of hypergeometric type. The method we use consists in counting separately the number of points of the Dwork hypersurface and of some varieties of the preceding type and then compare them. This article answers, at least when n is prime, a question asked by D. Wan in his article “Mirror Symmetry for Zeta Functions”. — Le but de cet article est de montrer que la fonction zêta des hypersurface de Dwork a, lorsque le nombre de variable n est un nombre premier impair et lorsque l’hypersurface est non singulière, une décomposition explicite en facteurs provenant de variétés affines de dimension impaire inférieure à n − 4 qui sont de type hypergeometrique. La méthode qu’on utilise consiste à compter séparement le nombre de points des hypersurfaces de Dwork et de certaines variétés du type précédent puis à les comparer. Cet article répond ainsi, du moins quand n est premier, à une question soulevée par D. Wan dans sont article « Mirror Symmetry for Zeta Functions ».

3. « Isotypic Decomposition of the Cohomology and Factorization of the Zeta Functions of Dwork Hypersurfaces », Finite Fields and Applications 17 (2011), p. 113-147, doi:10.1016/j.ffa.2010.10.003 (version de prépublication : arXiv:0912.2075). Cet article reprend le chapitre 3 de ma thèse. Résumé :

   In this article, we study the representation of a group of automorphisms into the l-adic cohomology of Dwork hypersurfaces (by a method similar to what Brünjes did for Fermat hypersurfaces) and show that it comes from representations defined over Q. This allows us to obtain a factorization of the zeta function of Dwork hypersurfaces. Compared to Kloosterman’s factorization (obtained through the use of p-adic Monsky-Washnitzer cohomology), our factorization is slightly finer and we are able to explain the observation made by Candelas, de la Ossa and Rodriguez-Villegas in the quintic threefold case concerning the decomposition of each factor over some finite extension of Q. — Dans cet article, on étudie la représentation d’un groupe d’automorphismes dans la cohomologie l-adique des hypersurfaces de Dwork (par une méthode similaire à celle utilisée par Brünjes pour les hypersurfaces de Fermat) et on montre qu’elle provient de représentations définies sur Q. Ceci nous permet d’obtenir une factorisation de la fonction zêta des hypersurfaces de Dwork. Comparée à la factorisation de Kloosterman (obtenue à travers la cohomologie p-adique de Monsky-Washnitzer), notre factorisation est légèrement plus fine et permet d’expliquer une observation de Candelas, de la Ossa et Rodriguez-Villegas concernant la décomposition de chacun des facteurs sur certaines extensions finies de Q dans le cas particulier de la quintique de Dwork.

Prépublications

4. « Link between two factorizations of the zeta functions of Dwork hypersurfaces » (15 pages), PDF. Résumé :

   Le but de cet article est de relier deux factorisations différentes des fonctions zêta des hypersurfaces de Dwork obtenues dans deux articles précédents. La première factorisation est explicite, en terme de numérateurs de fonctions zêta d’hypersurfaces de type hypergéométrique ; la seconde est une factorisation provenant d’une décomposition isotypique de la cohomologie. Le moyen utilisé pour relier ces deux factorisations est une technique de fonction L de représentations en suivant une méthode de Katz. — The aim of this article is to relate two different factorizations of the zeta functions of Dwork hypersurfaces which were obtained in two previous articles. The first factorization is explicit, given in terms of numerators of zeta functions of hypersurfaces of hypergeometric type. The second comes from an isotypic decomposition of the cohomology. To relate these two factorizations, we use a technique based on L functions of representations, following a method of Katz.

Exposés

1. Quelques exemples de factorisations de fonctions zêta, 21 février 2007, Séminaire étudiant de théorie des nombres. Notes de l’exposé. Résumé :

   Étant donné un polynôme f à plusieurs variables à coefficients dans un corps fini, on cherche à calculer le nombre de zéros de f sur toutes les extensions finies du corps de base d’un seul coup. Cela est par exemple possible si on peut calculer explicitement la fonction zêta de l’hypersurface f = 0. Après avoir donné quelques exemples où ce calcul explicite est possible et après avoir rappelé les conjectures de Weil (qui décrivent la forme générale des fonctions zêta), on s’intéressera à l’apparition, dans une fonction zêta donnée, de facteurs provenant d’autres fonctions zêta sur les exemples des courbes de Fermat et des hypersurfaces de Dwork.

2. Factoriser les fonctions zêta avec la cohomologie de Monsky-Washnitzer (d’après R. Kloosterman), 7 mai 2008, Séminaire étudiant de théorie des nombres. Notes de l’exposé. Résumé :

   Le but de cet exposé est d’expliquer, suivant un article récent de Remke Kloosterman, comment la cohomologie de Monsky-Washnitzer permet de factoriser les fonctions zêta sur l’exemple des hypersurfaces de Dwork. Les outils utilisés sont la description de la cohomologie du complément d’une hypersurface (méthode de Griffiths) et la méthode de déformation de Dwork qui permet de se ramener au cas plus simple des variétés de Fermat. On verra notamment le lien étroit entre les hypersurfaces de Dwork et certaines fonctions hypergéométriques. — Basé sur l’article de Remke Kloosterman, « The zeta function of monomial deformations of Fermat hypersurfaces », Algebra & Number Theory 1 (2007), no. 4, p. 421-450, arXiv:math/0703120.

3. Décomposition de la cohomologie (d’après N. Katz), 2 mars 2009, Séminaire étudiant de théorie des nombres. Notes de l’exposé. Résumé :

   Soit G un groupe agissant sur une hypersurface X ; cette action fournit une représentation de G dans la cohomologie de X. Le but de cet exposé est d’expliquer, suivant un article de Katz, comment on peut décomposer cette cohomologie, lorsque X est une courbe d’Artin-Schreier, en composants irréductibles sous l’action de G ; cela permet par exemple de donner une interprétation cohomologique de la célèbre formule de relèvement de Hasse-Davenport qui relie les sommes de Gauss sur une extension de degré r d’un corps fini et la puissance r-ième des sommes de Gauss sur le corps de base. — Basé sur le début de l’article de Nicholas Katz, « Crystalline Cohomology, Dieudonné Modules, and Jacobi Sums », dans Automorphic forms, representation theory and arithmetic, Papers presented at the Bombay Colloquium, 1979, Tata Institute of Fundamental Research, Springer, 1981, p. 165-246.

4. Fonctions zêta : conjectures de Weil et aspects effectifs, 16 novembre 2009, Séminaire étudiant de théorie des nombres. Notes de l’exposé (le début est une reprise de celui de l’exposé de 2007 pour un public différent). Résumé :

   Les fonctions zêta sont un moyen de compter les zéros d’un polynôme sur toutes les extensions de degré fini d’un corps fini d’un seul coup. Après avoir donné quelques exemples où ce calcul explicite est possible, on rappellera les conjectures de Weil qui décrivent la forme générale des fonctions zêta (en précisant notamment le signe dans l’équation fonctionnelle) et on abordera la question du calcul effectif de la fonction zêta (grâce aux majorations de Bombieri).

5. Aspects arithmétiques de la symétrie miroir : l’exemple de la quintique de Dwork, 18 mars 2010, Séminaire des thésards de l’Institut de Mathématique de Jussieu. Notes de l’exposé. Résumé :

   Le but de cet exposé est de décrire, sur l’exemple de la quintique de Dwork, certains phénomènes arithmétiques intéressants reliés à la symétrie miroir. Après avoir rappelé ce qu’est la quintique de Dwork, on construira sa variété miroir, on parlera du lien entre le nombre de points sur un corps fini de la quintique, de son miroir et de deux courbes de type hypergéométrique d’origine mystérieuse (Candelas, de la Ossa et Rodriguez-Villegas, 2004) et on abordera la question de la modularité dans le cas où la quintique est singulière (Schoen, 1986).

6. Hypersurfaces de Dwork et hypersurfaces hypergéométriques, 18 février 2011, Séminaire de théorie des nombres de Bordeaux. Notes de l’exposé. Résumé :

   Les hypersurfaces de Dwork, qui sont des déformations monomiales des hypersurfaces de Fermat, possèdent des propriétés arithmétiques riches (notamment en relation avec la symétrie miroir et la modularité) parmi lesquelles figurent de nombreux liens avec des objets de type hypergéométrique. Après avoir dressé un petit panorama de ces liens, on s’intéressera à comment la fonction zêta des hypersurfaces de Dwork se décompose en facteurs qui proviennent d’hypersurfaces hypergéométriques et qui admettent une interprétation en terme de fonctions L de représentations d'un groupe d’automorphismes.

7. Méthodes de factorisation de fonctions zêta, 17 juin 2011, Séminaire de théorie des nombres de Caen. Notes de l’exposé. Résumé :

   Considérant la fonction zêta d’une variété définie sur un corps fini, il arrive qu’elle se factorise sur le corps des rationnels ; ce phénomène soulève deux problématiques : peut-on prévoir le nombre de facteurs et les puissances auxquels ils interviennent ? peut-on relier ces facteurs à ceux de fonctions zêta d’autres variétés ? On verra comment, sur l’exemple de certaines variétés de Calabi-Yau, on peut répondre à ces questions grâce à la symétrie miroir, les équations différentielles de Picard-Fuchs et les représentations dans la cohomologie des automorphismes.

Mémoire de M2

Nombre de zéros et fonction zêta d’une famille de quintiques (d’après un article de P. Candelas, X. de la Ossa et F. Rodriguez-Villegas). Mémoire de M2 effectué sous la direction de Joseph Oesterlé. PDF sur demande. Le mémoire est basé sur les articles suivants : arXiv:hep-th/0012233v1 et arXiv:hep-th/0402133v1.